Пятница, 26.04.2024, 21:54
Мультимедийное пособие по дискретной математике
|
Меню сайта
Лекции
Лекции
|
ГрафыГрафом (G) будем называть тройку объектов (V, X, K)V – множество n вершин. X – конечное множество ребер. K- функция инцидентности, которая каждому элементу множества X ставит в соответствие пару элементов из множества V. K задана на множестве X. Если в значении функции инцидентности допускается перестановка вершин, то граф называется неориентированным. В противном случае граф называется ориентированным (Орграф). Vj – начало ребра Vk – его конец xi) = (Vj, Vk) – ребро инцидентно в вершине Vj и в вершине Vk. Если одной и той же паре вершин инцидентно несколько ребер, то ребра называются кратными. Если на ребре xi0 K(x0) = (Vj0, Vj0), то ребро называется петлей. Способы задания графов 1. Аналитический Если вершине не инцидентно никакое ребро, то эта вершина называется изолированной. Выписываются все ребра и пишутся напротив две пары вершин, которым они инцидентны. В конце выписываются все изолированные вершины. 2. Геометрический Каждая вершина графа задается точкой. А ребра, инцидентные паре вершин – кривой. Желательно рисовать кривые без пересечения. Если пересечения существуют, то их надо отличать от вершин.  3. С помощью матрицы инцидентности A(m*n) m = [V] – число вершин n = [X}- число ребер а) Неориентированные графы Aij = {0, если Vi не инцидентно xj, 1, если Vi инцидентно xj) б) Орграфы Aij = {0, если Vi не инцидентно xj, -1, если Vi - начало xj, 1, если Vi - конец xj) Для петель нужны дополнительные предположения. 4. Матрица смежности (задается одинаково для всех графов) B(m*m) m = [V] Bij равно числу ребер, инцидентных паре вершин (oi, oj) Если граф не ориентирован, то матрица симметрична. Граф, в котором нет кратных ребер и петель, называется простым. Простой граф называется полным, если любой паре его вершин инцидентно одно ребро. Дальше все о неориентированных графах.  K5 – полный пятивершинник  Полный двудольный граф.  Граф называется двудольным, если множество вершин разбивается на 2 непересекающихся подмножества, такие, что ребра соединяют вершины из разных подмножеств. Двудольный граф называется полным, если каждая вершина одного подмножества соединена ребром с каждой вершиной другого подмножества. Полный двудольный граф. Маршруты, циклы, связности. Маршрутом в графе называется чередующаяся последовательность вершин и ребер, начинающаяся и заканчивающаяся вершинами, такую, что каждое ребро в нем соединяет только те вершины, между которыми оно стоит. Будем говорить, что этот маршрут соединяет первую и последнюю вершину. Если существует маршрут, то последняя вершина называется достижимой из первой вершины. Маршрут, в котором нет повторяющихся ребер, называется цепью. Маршрут, в котором нет повторяющихся вершин (кроме первой и последней), называется простой цепью. Если в простой цепи первая и последняя вершины совпадают, то она называется циклом. Граф называется связным, если любая вершина достижима из любой другой вершины. В противном случае граф называется несвязным. Несвязный граф распадается на несколько частей, каждая из которых является связным графом. Эти части называются компонентами связности. Ребро называется циклическим, если оно входит хотя бы в один цикл графа. В противном случае ребро называется ациклическим. Утверждение. Если из связного графа удалить циклическое ребро, то вновь полученный граф останется связным, а если удалить ациклическое ребро, то граф распадется на два компонента связности. Связный граф, у которого все ребра ациклические, называется деревом. Несвязный граф, компонентами связности которого являются деревья, лесом. Свойства деревьев. 1. Чтобы простой связный граф был деревом, необходимо и достаточно, чтобы число вершин было больше числа ребер на один. 2. Чтобы граф был деревом, необходимо и достаточно, чтобы любые две вершины его соединялись единственным маршрутом. 3. Граф будет деревом тогда и только тогда, когда добавление любого нового ребра приводит к появлению ровно одного цикла. |
Поиск
Счеткич визитов
Друзья сайта
|