Воскресенье, 05.01.2025, 23:51
Приветствую Вас Гость | RSS

Мультимедийное пособие по дискретной математике

Меню сайта
Форма входа

Множество. Алгебра множеств.

Введем обозначения. 


R - множество действительных чисел. 
X e R - элемент X принадлежит множеству R. 

Равные множества - множества, состоящие из одинаковых элементов. 

A = B - множество А равно множеству B. 

0 - пустое множество. 

A<= C - Множество А является подмножеством множества С. 

Если А не равно С и А <= C, то А < С. (строго). 
Если A <= C и C <= А, то А = С. 

Пустое множество 0 является подмножеством любого множества. 

Существуют конечные и бесконечные множества. Пусть n - число элементов данного множества А. Это число называется мощностью данного множества. 

У множества рациональных чисел мощность является счетной (т.е. все элементы можно пронумеровать). 
У множества иррациональных чисел мощность - континиум. Обозначается (С). 

Основное правило комбинаторики (показано на примере) 

Пусть имеется палочка, разделенная на 3 части. Первую ее часть можно раскрасить n способами, вторую - m, третью - k. Всего способов раскраски палочки - n*m*k. Аналогично с множествами
U = {a1,a2… an-1, an}
Пусть U = {a1, a2, a3}
Выпишем множество всех подмножеств множества U. 

P(U) = {0, a1, a2, a3, a1a2, a1a3, a2a3, a1a2a3}. 

Мощность множества U равна 3, а мощность P(U) равна 8. 

Методом математической индукции доказывается, что при произвольной мощности n множества U, мощность множества P(U) равна 2n. 

Операции над множествами 

1. Объединение множеств (A U B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А ИЛИ множеству В. 

2. Пересечение множеств (A n B). Элемент, принадлежащий полученному множеству, принадлежит множеству А И множеству В. 

3. Дополнение множества А. (С = А ) - не А. Все элементы, принадлежащие универсальному множеству, не принадлежат множеству А. 

Свойства операций над множествами.



1. A U B = B U A - коммутативность . A n B = B n A 

2. (A U B) U C = A U (B U C), A n (B n C) = (A n B) n C - ассоциативность. 

3. (A U B) n C = (A n C) u (B n C), (AnB) U C = (A U C) n (B U C) - дистрибутивность. 

4. Поглощение A U A = A, A n A = A. 

5. Существование универсальных границ. А U 0 = A A n 0 = 0 A u U = U A n U = A

6. Двойное дополнение A = A

7. A U A = U A n A = 0

8. Законы двойственности или закон Де - Моргана
(AUB) = A n B
(AnB) = A U B 



Поиск
Счеткич визитов

Copyright MyCorp © 2025
Бесплатный хостинг uCoz


Яндекс.Метрика